異議申立て期間が3か月と短いので、証拠の準備が間に合うか不安です。何か対策はありますか？

予め異議申立書に明示しておけば、申立書提出日から3か月以内に証拠を追加で提出できます。
いずれにしても、自社にとって支障となる商標出願は出来るだけ早期に発見することが重要となりますので、商標ウォッチングサービス等を活用して対策をとられることをお勧めいたします。